关于失信的成语及故事如下：

一、核心成语及解释

言而无信

指说话不算数，没有信用。 典故：

春秋时期，齐襄公承诺明年用瓜替换守卫葵丘的连称、管至父，却食言不兑现，导致两人最终杀死齐襄公。

背信背约

违背诺言且不讲道义。 典故：

《周书·武帝纪下》记载伪齐王违信背约，引发祸端。

食言而肥

不守信用，只图私利。 典故：

春秋时晋文公为博褒姒一笑，曾食言许诺，后因失信引发内乱。

背惠食言

忘恩负义，违背承诺。 典故：

周宣王时，褒珦被囚三年，其族人以献美女赎罪，周幽王背信放人，后因失信导致国家灭亡。

二、其他相关成语

贪而无信：形容贪婪且不守信用，如汉·应劭《鲜卑胡市议》所述。

弃义倍信：背离信义，背弃承诺。

轻言寡信：说话轻率，缺乏信用。

三、历史故事补充

烽火戏诸侯：周幽王为博褒姒一笑，多次无故点燃烽火戏弄诸侯，导致诸侯不再信任他，最终西戎攻破镐京，周朝灭亡。

杀鸡儆猴：虽不含直接失信情节，但常被误用为失信行为。原指通过惩罚一人警示众人，后多用于反面教材。

以上成语和故事均围绕失信行为展开，既包含个人品德缺失的典型案例，也涉及国家兴衰的警示意义。