根据指数运算的规则，$a$的$m$次方的$n$次方可以表示为：

$$

(a^m)^n = a^{mn}

$$

这个等式在以下情况下成立：

$a > 0$

当底数$a$为正数时，无论指数$m$和$n$是什么实数，等式始终成立。

$a \leq 0$ 且 $mn$ 为整数

当底数$a$为非正数时，只有当指数$mn$为整数时，等式才成立。例如：

- 当$a = -1$且$m = \frac{1}{2}$，$n = 2$时，$（-1）^{\frac{1}{2} \cdot 2} = （-1）^1 = -1$，等式成立。

特殊情况：分数指数

当$a < 0$且$mn$为分数时，等式可能成立，但需要分母为奇数。例如：

- 当$a = -1$，$m = \frac{1}{2}$，$n = 4$时，$（-1）^{\frac{1}{2} \cdot 4} = （-1）^2 = 1$，等式成立。

总结：

若$mn$为分数且分母为奇数，则$a^{m/n}$有意义且等于$\sqrt[n]{a^m}$；

若$mn$为分数且分母为偶数，则$a^{m/n}$无实数解。

补充说明：

实数范围内，负数的非整数次方可能涉及复数，需根据具体指数规则判断。