立体几何是研究三维空间中几何体性质与关系的学科，其定义和定理可概括如下：

一、基本定义

三维空间

立体几何以长度、宽度和高度为三维特征的空间为研究对象，包含点、线、面等基本元素。

几何体

- 柱体：

底面为多边形，侧面为矩形的立体（如圆柱、棱柱）。

- 锥体：底面为多边形，侧面为三角形的立体（如圆锥、棱锥）。

- 台体：上下底面为相似多边形的棱柱（如圆台、棱台）。

- 球体：所有点到球心距离相等的立体。

点、线、面

- 点：仅有位置信息，无长度、宽度和高度。

- 线：由点集合构成，分为直线（无限延伸）和曲线。

- 面：由线集合构成，分为平面（如平面几何）和曲面（如球面）。

二、核心公理

公理1：

两点确定一条直线，且直线在平面内。

公理2：

三点确定一个平面（不共线）。

公理3：

两个平面相交有且仅有一条交线。

公理4：

平行公理：平行于同一直线的两条直线互相平行。

三、重要定理

直线与平面关系

- 判定定理：

平面外直线与平面内直线平行，则直线与平面平行。

- 性质定理：平面与平面平行时，交线与对应线段平行。

- 垂直判定定理：直线与平面内任意直线垂直，则直线与平面垂直。

平面与平面关系

- 判定定理：

两平面法向量平行，则两平面平行。

- 性质定理：两平面平行时，对应线段比例相等。

空间角与距离

- 线面角：

直线与平面夹角定义为直线与法向量夹角。

- 点到平面距离：从点向平面作垂线，垂线长度即为距离。

体积与表面积

- 柱体体积：

$V = Sh$（$S$为底面积，$h$为高）。

- 球体体积：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$（$r$为半径）。

四、经典定理补充

欧拉公式：$V - E + F = 2$（适用于多面体）。

勾股定理：直角棱锥斜高平方等于底面边长平方和。

五、应用领域

立体几何在数学、物理、工程等领域有广泛应用，例如计算物体体积、设计机械结构、分析光学现象等。