考研数学中常见的泰勒公式主要包括以下5个基本函数展开式，这些公式在极限计算、导数应用及证明题中应用广泛：

一、基本初等函数泰勒公式

指数函数 $e^x$

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + O(x^n)$$

适用于计算自然增长或衰减问题。

正弦函数 $\sin x$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + O(x^{2m})$$

常用于三角函数近似计算及微分方程求解。

余弦函数 $\cos x$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!} + O(x^{2m+1})$$

与正弦函数结合可表示周期性函数。

自然对数函数 $\ln（1+x）$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + O(x^n) \quad (-1 < x \leq 1)$$

用于对数函数近似及微分方程分析。

反正切函数 $\arctan x$

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{2m-1} + O(x^{2m}) \quad |x| < 1$$

常用于反三角函数近似及积分计算。

二、补充说明

记忆技巧：

可通过函数性质（如周期性、奇偶性）辅助记忆。例如，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的展开式可通过单位圆几何意义理解。

应用场景：泰勒公式在求极限（如 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$）、证明中值定理（如拉格朗日中值定理）及不等式证明中作用显著。

扩展学习：对于高阶导数或特殊函数（如 $\sqrt{1+x}$、$\tan x$），可参考泰勒公式的一般形式进行推导。

建议考生结合教材例题与真题练习，掌握公式推导过程及适用条件，注意余项的阶数分析对精度的影响。