求反函数是考研数学中的重要内容，以下是系统化的解题步骤和注意事项：

一、基本步骤

检查单调性

函数必须是单调的（严格单调递增或递减）才能存在反函数。若函数不单调，则反函数不存在。

交换变量

将原函数 $y = f（x）$ 中的 $x$ 和 $y$ 互换，得到新方程 $x = f（y）$。

解出 $y$

通过代数运算解出 $y$ 关于 $x$ 的表达式。例如：

对于 $y = \sqrt{1 - x}$，互换后得 $x = \sqrt{1 - y}$，平方后解得 $y = 1 - x^2$。

对于线性函数 $y = ax + b$，直接解得 $y = \frac{x - b}{a}$。

确定定义域

反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域。例如：

$y = \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $[0, +\infty）$，所以反函数 $y = 1 - x^2$ 的定义域为 $[0, +\infty）$。

验证反函数

将反函数代入原函数，验证是否满足 $f（f^{-1}（x）） = x$。例如：

反函数 $y = \sqrt{x}$ 代入原函数 $y = \sqrt{1 - x}$，得 $\sqrt{x} = \sqrt{1 - \sqrt{x}}$，在 $x \geq 0$ 时成立。

二、注意事项

多值函数处理

若原函数存在多值（如 $y = x^2$），需限定定义域使其单调（如 $y \geq 0$），再求反函数。

几何意义

原函数与反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，这一性质可辅助验证。

导数关系

若原函数可导且导数不为零，则反函数也可导，且 $（f^{-1}）'（x） = \frac{1}{f'（y）}$。

三、典型例题

求 $y = \ln（x + 1）$ 的反函数

1. 交换变量：$x = \ln（y + 1）$

2. 解出 $y$：$e^x = y + 1 \Rightarrow y = e^x - 1$

3. 确定定义域：原函数值域为 $R$，所以反函数定义域为 $R$

4. 最终反函数：$y = e^x - 1$

通过以上步骤和注意事项，系统地求解反函数问题。若遇到复杂函数，可结合图像分析单调性，或通过导数判断可导性。