考研积分的计算需要掌握基本方法和技巧，以下是综合整理的核心内容：

一、基本积分方法

凑微分法（第一类换元法）

通过将被积函数变形为$u'v$形式，代入后使用基本积分公式。例如：

$$\int x\cos(x)dx = x\sin(x) - \int \sin(x)dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$$

分部积分法

适用于被积函数为两个函数乘积的情况，公式为：

$$\int u dv = uv - \int v du$$

例如：

$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$$

基本积分公式

需熟练掌握常见函数积分公式，如：

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

$$\int \sin(x)dx = -\cos(x) + C \quad \int \cos(x)dx = \sin(x) + C$$

二、特殊积分技巧

换元法进阶

根式换元：

令$x = t^2$，简化根号积分，如$\int \sqrt{x}dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

三角换元：用$\sin（t）$或$\cos（t）$替换，消除根号，如$\int \sqrt{1-x^2}dx = \frac{\pi}{2}x + C$

倒代换：代换$x = a^t$，处理指数函数积分，如$\int x\ln（x）dx = \frac{x^2}{2}（\ln（x）-1） + C$

积分性质应用

对称性：

奇函数在对称区间积分为0，偶函数为2倍半区间积分，如$\int_{-a}^a f（x）dx = 2\int_0^a f（x）dx$

线性性质：$\int [f（x） + g（x）]dx = \int f（x）dx + \int g（x）dx$

三、典型题型解析

定积分计算

几何意义：

$\int_{a}^b f（x）dx$表示曲线$y=f（x）$与$x$轴围成的面积

分段函数：需分段计算后求和

反常积分

无穷区间：

$\int_{a}^{\infty} f（x）dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^b f（x）dx$

瑕点积分：需避开奇点计算，如$\int_{0}^1 \frac{dx}{x} = \ln（x）\Big|_0^1$（发散）

高阶积分

三重积分：

需结合柱坐标、球坐标变换，如$\iiint_V f（x,y,z）dxdydz$

曲线积分与曲面积分：需使用斯托克斯定理、高斯公式等

四、备考建议

系统学习：

以同济版《高等数学》为基础，完成课后习题

公式记忆：

整理公式表，结合例题理解推导过程

强化训练：

每周做3-4套真题，模拟考试环境

错题复盘：

分析错误原因，总结解题思路

通过以上方法，结合持续练习，考研积分问题可得到有效解决。