泰勒公式在考研中的应用主要体现在以下几个方面：

求极限

当极限式中包含加减运算时，可以利用初等函数进行变换，将复杂的函数极限问题简化。

对于高阶的极限，往往需要比较高阶的泰勒展开，这时所用的余项一般式是佩亚诺余项。

在处理“∞-∞”型极限时，泰勒公式可以简化运算过程。

求高阶导数

可以使用泰勒公式展开式来求函数的高阶导数值，通常不需要考虑余项。

证明含高阶导数的等式或不等式

带有拉格朗日余项的泰勒公式可以用于证明含有高阶导数的等式或不等式。

积分

对于一些具有特殊性质的函数的积分大小判断，可以使用泰勒展开来进行对积分的放缩，一般是一阶展开的拉格朗日余项，需要二阶导数有界才能有效进行放缩。

函数近似计算

泰勒公式可以将复杂函数展开成幂级数，取前几项进行计算，获得相当精确的结果，这在近似计算中具有广泛的应用。

在使用泰勒公式时，需要注意以下几点：

确定精度：首先要确定展开的精度，通常先确定容易确定精度的部分，再根据这个精度来确定其他部分的精度。

选择合适的展开点：常见的选择是导数为零的点、区间的中点或函数的极值点。

注意余项：不同的余项适用于不同的情况，需要根据具体问题选择合适的余项。

示例

例1：求极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}$

解法1：直接利用等价代换，$\sin x \sim x$，则 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x}{x} = 1$。

解法2：利用泰勒展开，$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$，则 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = \lim_{{x \to 0}} \left（1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \cdots \right） = 1$。

通过这些方法和技巧，考生可以更好地掌握泰勒公式在考研中的应用。