关于考研间断点的考查，主要考察以下内容：

一、间断点的判断

无定义点：

函数未定义的点必然是间断点，例如分母为零的点（如$f（x）=\frac{1}{x}$在$x=0$处）。

分段函数的分段点：

分段函数在分段点处可能不连续，需重点关注。

二、间断点类型的判断

根据左右极限的情况进行分类：

第一类间断点

- 可去间断点：

左右极限存在且相等，但函数值不等于该极限（如$f（x）=\begin{cases}x^2, & x\neq0 \\ 1, & x=0\end{cases}$在$x=0$处）。

- 跳跃间断点：左右极限存在但不相等（如$f（x）=\begin{cases}x+1, & x<0 \\ x-1, & x\geq0\end{cases}$在$x=0$处）。

第二类间断点

- 无穷间断点：

左右极限中至少有一个为无穷大（如$f（x）=\frac{1}{（x-1）^2}$在$x=1$处）。

- 振荡间断点：左右极限不存在且函数值振荡（如$f（x）=\sin\frac{1}{x}$在$x=0$处）。

三、典型例题解析

例1：判断函数$f（x）=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x=0\end{cases}$在$x=0$处的间断点类型。

分析：

左右极限$\lim_{x\to0^+}f（x）=\lim_{x\to0^-}f（x）=0$，存在且相等。 - 函数值$f（0）=0$，满足连续条件。- 结论：$x=0$是可去间断点。

例2：判断函数$f（x）=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的间断点类型。

分析：

函数在$x=1$处无定义，属于可疑点。 - 左极限$\lim_{x\to1^-}f（x）=2$，右极限$\lim_{x\to1^+}f（x）=2$，存在且相等。 - 但$f（1）$无定义，故为可去间断点。

四、注意事项

定义域边缘点：

间断点必须是定义域的去心邻域内的点，定义域端点不视为间断点。

特殊函数处理：

- 无穷间断点可通过观察函数趋近行为判断（如$\frac{1}{x}$在$x\to0$时趋于无穷）。 - 振荡间断点（如$\sin\frac{1}{x}$）需结合函数图像或性质判断。

五、备考建议

熟练掌握间断点的定义和分类，这是解题基础。- 多做练习题，尤其是分段函数和特殊函数（如三角函数）的间断点分析。- 注意区分可去间断点和跳跃间断点的判断条件。

通过以上方法，系统掌握间断点的判断与分类，可有效应对考研数学中的相关题目。