考研数学中导数和积分的计算是核心内容，以下是关键方法和注意事项的总结：

一、导数的计算

基本导数公式

熟练掌握常见函数导数公式，如幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。例如：

- $（x^n）' = nx^{n-1}$

- $（\sin x）' = \cos x$

- $（e^x）' = e^x$

- $（\ln x）' = \frac{1}{x}$

求导法则

- 四则运算法则：

$（u \pm v）' = u' \pm v'$，$（uv）' = u'v + uv'$，$\left（\frac{u}{v}\right）' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

- 链式法则：$（f（g（x）））' = f'（g（x））g'（x）$

特殊函数导数

- 三角函数：$（\sec^2 x）' = 2\sec x \tan x$，$（\csc x）' = -\csc x \cot x$

- 指数函数：$（a^x）' = a^x \ln a$

二、积分的计算

不定积分

- 凑微分法（第一类换元法）：

通过变量代换将复杂积分转化为基本积分形式。例如：

$$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$$

- 换元法：

- 根式换元：$x = \tan t$，$dx = \sec^2 t \, dt$（适用于$\sqrt{a^2 - x^2}$）

- 三角换元：$x = \sec t$，$dx = \sec t \tan t \, dt$（适用于$\sqrt{x^2 + 1}$）

- 分部积分法：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$（适用于$u v'$形式）

定积分

- 牛顿-莱布尼茨公式：

$\int_{a}^{b} f（x） \, dx = F（b） - F（a）$，其中$F（x）$是$f（x）$的原函数

- 对称性应用：

- 偶函数：$\int_{-a}^{a} f（x） \, dx = 2 \int_{0}^{a} f（x） \, dx$

- 奇函数：$\int_{-a}^{a} f（x） \, dx = 0$

- 数值积分方法：如辛普森法则、梯形法则（适用于复杂积分近似计算）

三、备考建议

基础阶段（3-6个月）

- 系统学习基本导数公式和积分方法，通过大量练习巩固

- 建立错题本，分析错误原因，定期复习

强化阶段（1-2个月）

- 深入学习特殊函数导数和积分技巧，如三角换元、分部积分的复杂应用

- 做历年真题，总结题型规律和答题技巧

冲刺阶段（1个月）

- 进行模拟考试，调整答题节奏和时间分配

- 复习易忘公式和易错点，强化记忆

通过以上方法和策略，系统掌握导数和积分的计算技巧，结合真题演练，将显著提升解题能力。