考研概率积分的计算涉及概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF）的积分，以下是具体方法和技巧：

一、概率密度函数（PDF）积分

基本性质

对于随机变量$X$的概率密度函数$f（x）$，需满足：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$$

这表示随机变量取遍所有可能值的概率总和为1。

常见分布的积分

正态分布：

若$X \sim N（\mu, \sigma^2）$，其PDF为：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

通过极坐标变换可证明其积分为1。 - 标准正态分布：$X \sim N（0,1）$时，积分：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx = \sqrt{\pi}$$。

二、分布函数（CDF）积分

分布函数$F（x）$定义为：

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$$

即随机变量$X$取值小于等于$x$的概率。

三、计算技巧与方法

换元积分法

根式换元：

如$x = \sqrt{ax + b}$，令$t = \sqrt{ax + b}$简化积分。 - 三角换元：令$x = a\sin（t）$或$x = a\cos（t）$，将二次函数转换为有理函数积分。 - 倒代换：令$x = \frac{1}{t}$，适用于分子分母次数差大于1的情况。

分部积分法

适用于可分解为两部分且易积分的函数，公式为：

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$。

对称性简化

奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分为0：

$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad (\text{若} f(-x) = -f(x))$$。 - 二维随机变量边缘分布可通过二重积分计算。

数值方法

当解析解难以求得时，可用蒙特卡罗法通过随机抽样估计积分值。

四、典型应用场景

概率计算：

如至少发生一次事件的概率用概率加法公式，独立重复试验用Bernoulli公式。- 条件概率：通过全概率公式计算伴随完备事件组的概率。- 多维积分：如二维随机变量的条件分布密度需结合二重积分。

总结

考研概率积分需结合理论公式与计算技巧，建议先识别分布类型（如正态分布），再选择合适方法（如换元、分部积分等）。对于复杂积分，可尝试数值方法或利用对称性简化计算。