关于考研数学中合同矩阵的考查，可从以下方面进行复习：

一、核心概念与性质

合同矩阵的定义

若存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = B$，则称矩阵$A$与$B$合同。合同矩阵要求$A$、$B$为同型对称矩阵。

基本性质

反身性：

任意矩阵与自身合同，即$A \sim A$。 - 对称性：若$B \sim A$，则$A \sim B$。 - 传递性：若$B \sim A$且$C \sim B$，则$C \sim A$。 - 相同标准型：合同矩阵有相同的二次型标准型。 - 等价性：合同矩阵必等价，但等价矩阵不一定合同。

惯性定理

正定、负定二次型可通过惯性定理判定，正定矩阵的特征值全为正，负定矩阵特征值全为负。

二、重点内容与解题方法

合同变换的应用

通过合同变换将二次型化为标准型，例如使用配方法或正交变换。

利用惯性定理判断二次型的正定性。

判别方法

特征值法：

正定矩阵的特征值全为正，负定矩阵特征值全为负。 - 主子式法：正定矩阵的各阶主子式均大于零。

典型题型与练习

证明两个矩阵是否合同（如通过惯性定理或特征值法）。 - 通过合同变换化简二次型（如配方法或正交变换）。

三、复习建议

基础巩固

理解合同矩阵的定义、性质及判别方法，记忆对称矩阵与合同矩阵的关系。2. 习题训练

做选择题和填空题为主，结合教材例题和历年真题，强化对概念的理解和运用。3. 知识体系整合

将合同矩阵与相似、等价矩阵联系起来，理解它们在矩阵理论中的地位。

通过以上复习，考生应能掌握合同矩阵的核心内容，并能在考试中灵活运用。