考研分部积分法的计算方法及应用如下：

一、基本公式与步骤

分部积分法的公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

其中，$u（x）$ 和 $dv（x）$ 的选择需满足：

1. $u（x）$ 的导数 $u'（x）$ 较简单；

2. $dv（x）$ 的积分 $v（x）$ 较容易计算。

示例：计算 $\int x \ln x \, dx$

1. 选择 $u = \ln x$（$du = \frac{1}{x} \, dx$），$dv = x \, dx$（$v = \frac{x^2}{2}$）；

2. 应用公式：

$$

\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C

$$

二、适用场景与技巧

适用条件

当被积函数是两个函数乘积时，优先考虑分部积分法。例如：

- $x \sin x$（$u = x$，$dv = \sin x \, dx$）

- $\sqrt{x} \cdot e^x$（$u = \sqrt{x}$，$dv = e^x \, dx$）

选择策略

- 优先让 $u$ 的导数简单（如多项式、三角函数）；

- 让 $dv$ 的积分容易计算（如基本初等函数、可凑微分形式）。

常见函数对

- $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）

- $\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$

- $\int e^x \, dx = e^x + C$

三、注意事项

多次分部积分

若一次分部积分后仍较复杂，可重复使用分部积分法。例如计算 $\int x e^x \, dx$：

$$

\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C

$$

边界条件

对于定积分，需注意积分区间的变化。例如：

$$

\int_{0}^{1} x e^x \, dx = \left[ x e^x - e^x \right]_0^1 = (1 \cdot e - e) - (0 - 1) = 1

$$

特殊函数

对于复杂函数（如三角函数、有理函数），可结合换元法与分部积分法。例如计算 $\int \sin x \cos x \, dx$：

$$

\int \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{4} \cos 2x + C

$$

四、典型错误与建议

常见错误包括：

未正确选择 $u$ 和 $dv$，导致积分更复杂；

忽略积分常数 $C$ 的处理。

建议通过大量练习巩固技巧，例如：

记忆常见函数积分公式；

分析被积函数结构，尝试拆分或变形。