夹逼定理是考研数学中用于求解极限问题的重要方法，其核心思想是通过构造两个函数“夹”住目标函数，利用已知极限值确定目标函数的极限。以下是具体应用方法和注意事项：
一、夹逼定理的基本概念
若函数$f（x）$、$g（x）$、$h（x）$满足：
1. $g（x） \leq f（x） \leq h（x）$，且$g（x）$与$h（x）$在某区间内连续（或可导）；
2. $\lim_{x \to a} g（x） = \lim_{x \to a} h（x） = L$；
3. 则$\lim_{x \to a} f（x） = L$。
二、典型应用场景
函数极限的求解 通过构造左右两侧的“夹逼函数”来处理$0/0$型或$\infty/\infty$型极限。例如：
- 求$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$时，构造$-1 \leq \sin x \leq 1$，得到$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$，再结合$x \to 0$时$\frac{1}{x}$的极限不存在，但通过左右极限分析可知$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$，$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = -1$。
数列极限的证明
若数列$\{X_n\}$满足$Y_n \leq X_n \leq Z_n$，且$\lim_{n \to \infty} Y_n = \lim_{n \to \infty} Z_n = A$，则$\lim_{n \to \infty} X_n = A$。例如证明$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$时，可构造$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$。
三、注意事项
函数选择：
需确保构造的$g（x）$和$h（x）$能紧密“夹住”原函数，且极限值易于计算。
放缩技巧：
在处理复杂表达式时，可通过添加或减去“无中生有”的项（如$\frac{1}{n^2}$）进行合理放缩。
适用条件：
直接计算困难时使用，但需注意与洛必达法则等方法的适用场景区分。
四、易错点提醒
忽略函数在极限点的连续性；
放缩时未考虑符号变化（如$x \to 0^-$与$x \to 0^+$的差异）。
通过以上方法，夹逼定理可有效解决多种极限问题，建议结合具体题型灵活运用。
