曲率是描述曲线在某一点处弯曲程度的量，其计算公式为：

\[ K = \frac{|y''|}{（1 + （y'）^2）^{\frac{3}{2}}} \]

其中，\（ y' \） 表示函数 \（ y \） 的一阶导数，\（ y'' \） 表示函数 \（ y \） 的二阶导数。

具体计算步骤如下：

求一阶导数 ：计算函数 \（ y \） 的一阶导数 \（ y' \）。

求二阶导数：

计算函数 \（ y \） 的二阶导数 \（ y'' \）。

代入公式：

将 \（ y' \） 和 \（ y'' \） 代入曲率公式中，计算得到曲率 \（ K \） 的值。

曲率的正负表示曲线的凹凸性，正曲率意味着曲线在该点是凹的，负曲率意味着曲线在该点是凸的。

示例

假设有一个函数 \（ y（x） = \sin（x） \），我们来计算其在 \（ x = \frac{\pi}{4} \） 处的曲率。

求一阶导数

\[ y' = \frac{d}{dx} \sin（x） = \cos（x） \]

求二阶导数

\[ y'' = \frac{d}{dx} \cos（x） = -\sin（x） \]

代入公式

\[ K = \frac{|-\sin（\frac{\pi}{4}）|}{（1 + \cos（\frac{\pi}{4}））^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{（1 + \frac{\sqrt{2}}{2}）^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{（1 + \frac{\sqrt{2}}{2}）^{\frac{3}{2}}} \]

通过上述步骤，我们可以求出函数 \（ y（x） = \sin（x） \） 在 \（ x = \frac{\pi}{4} \） 处的曲率。