定义 ：若函数$y = f（x）$存在反函数$x = f^{-1}（y）$，满足对$y$在值域中的任意值，通过$f^{-1}（y）$能在定义域中找到唯一$x$对应。

存在条件：

函数需为定义域到值域的一一映射，典型为严格单调函数（如$y = x^3$）。

性质

- 定义域与值域互换

- 原函数与反函数图象关于直线$y = x$对称

- 若原函数在区间$I$上严格单调，则反函数在对应区间上也严格单调

二、常见函数的反函数

线性函数：

$y = ax + b$的反函数为$x = \frac{1}{a}（y - b）$。

三角函数

- $y = \sin x$（$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$）的反函数为$y = \arcsin x$，定义域$[-1, 1]$，值域$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

- $y = \cos x$（$x \in [0, \pi]$）的反函数为$y = \arccos x$，定义域$[-1, 1]$，值域$[0, \pi]$。

- $y = \tan x$（$x \in （-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}）$）的反函数为$y = \arctan x$，定义域$R$，值域$（-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}）$。

指数与对数函数

- $y = a^x$的反函数为$y = \log_a x$。

- $y = \log_a x$的反函数为$y = a^x$。

三、反函数的导数

若$y = f（x）$在区间$I$上可导且$f'（x） \neq 0$，则其反函数$x = f^{-1}（y）$在对应区间上可导，且$（f^{-1}）'（y） = \frac{1}{f'（x）}$。

四、应用与拓展

反函数在反积分、方程求解、微分方程等领域有重要应用，例如通过反函数变换简化积分计算。

注：考研数学中反函数相关内容多以选择题、填空题形式出现，重点考察概念理解、基本函数反函数求解及性质应用，建议结合教材与真题进行系统复习。