考研数学中积分的计算方法主要分为以下几类，并结合具体技巧进行说明：

一、基本积分类型与方法

不定积分

- 凑微分法（第一类换元法）：

通过代换简化被积函数，例如$\int x\cos x\,dx$可令$u = x$，$dv = \cos x\,dx$，再积分。

- 分部积分法：适用于两个函数乘积的积分，公式为$\int u\,dv = uv - \int v\,du$，常用于含反三角函数或对数函数的情况。

定积分

- 牛顿-莱布尼茨公式：

$\int_a^b f（x）\,dx = F（b） - F（a）$，其中$F（x）$是$f（x）$的原函数。

- 对称性：若$f（x）$为偶函数，$\int_{-a}^a f（x）\,dx = 2\int_0^a f（x）\,dx$；若为奇函数，$\int_{-a}^a f（x）\,dx = 0$。

- 换元法：通过变量代换（如三角换元$x = a\sin t$）简化积分，尤其适用于根号或复杂函数。

反常积分

- 处理积分区间包含无穷大或振荡间断点的情况，需分别计算极限，例如$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left（-\frac{1}{x}\right）\Big|_1^b$。

二重积分

- 直角坐标系：

将区域$D$表示为$x$和$y$的累次积分，需选择积分次序。

- 极坐标系：适用于圆形或扇形区域，公式为$\iint_D f（x,y）\,dxdy = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2} f（r\cos\theta, r\sin\theta）r\,dr\,d\theta$。

二、典型计算技巧

凑微分法示例

计算$\int x\sqrt{1-x^2}\,dx$，令$u = 1 - x^2$，则$du = -2x\,dx$，积分变为$-\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du$。

三角换元法示例

计算$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx$，令$x = \tan t$，则$dx = \sec^2 t\,dt$，积分变为$\int \frac{\sec^2 t}{1+\tan^2 t}\,dt = \arctan x + C$。

分部积分法示例

计算$\int x\ln x\,dx$，令$u = \ln x$，$dv = x\,dx$，则$du = \frac{1}{x}\,dx$，积分变为$x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$。

三、注意事项

定积分计算需注意积分上下限的代换规则，换元后需调整积分限。

反常积分需单独判断收敛性，常用比较判别法或极限审敛法。

二重积分的极坐标变换需结合区域形状选择积分次序。

建议结合具体题型选择方法，多做练习题巩固技巧，尤其是几何意义和对称性应用。