复合函数是数学中通过组合多个函数形成的新函数，其核心概念和要点如下：

一、基本定义

复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过连续应用多个函数得到最终结果。例如，若$y = f（u）$且$u = g（t）$，则复合函数可表示为$y = f[g（t）]$，其中$t$是自变量，$u$是中间变量，$y$是因变量。

二、构成条件

函数嵌套顺序：

需满足“内层函数的值域包含于外层函数的定义域”。例如，$y = \sin（x^2 + 1）$中，$x^2 + 1$是内层函数，$\sin$是外层函数，需满足$-1 \leq x^2 + 1 \leq 1$。

中间变量：

通过中间变量$u$、$v$等连接函数，如$y = f（u）$，$u = g（x）$，$v = h（x）$时，导数公式为$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx}$。

三、应用与意义

简化计算：

将复杂问题分解为多个简单函数组合，降低计算难度。例如，求导时使用链式法则。

实际应用：

广泛应用于数学（如微分方程、积分）、物理（如电磁场分析）、工程（如机械设计）等领域。

四、注意事项

定义域与值域：

复合函数的定义域是各内层函数定义域的交集，值域是各内层函数值域的并集。

不可复合情况：

若内层函数的值域与外层函数的定义域无交集，则无法构成复合函数。例如，$y = \log_2（\cos x - 2）$无意义，因为$\cos x - 2$恒小于0。

五、典型例子

三角函数复合：$y = \log_2（\sin x）$，内层$\sin x$需满足$-1 < \sin x \leq 1$。

分式函数复合：$y = \frac{1}{1 - x^2}$，需满足$1 - x^2 \neq 0$。

通过以上要点，可系统理解复合函数的定义、性质及应用，为考研数学及其他领域学习奠定基础。