考研数学中计算函数在某一点的左右极限，需遵循以下步骤和注意事项：

一、左右极限的定义

左极限：

当自变量从左侧趋近于某一点$a$时，函数值的极限，记作$\lim_{x \to a^-} f（x）$。

右极限：

当自变量从右侧趋近于某一点$a$时，函数值的极限，记作$\lim_{x \to a^+} f（x）$。

二、计算方法

直接代入法

若函数在点$a$的邻域内连续，可直接将$a$代入函数计算极限。

*示例*：$\lim_{x \to 2} （3x - 1） = 3 \times 2 - 1 = 5$。

化简与等价无穷小替换

- 化简函数表达式，消去分母为零的点。

- 使用等价无穷小替换（如$\sin x \sim x$，$e^x - 1 \sim x$）简化计算。

洛必达法则

当遇到$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型不定式时，可对分子分母分别求导再取极限。

*示例*：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。

泰勒公式展开

对含$\sin x$、$\cos x$、$e^x$等函数的极限问题，可通过泰勒公式展开后求极限。

三、注意事项

分段函数处理

需分别计算分段点处的左极限和右极限，若两者不等则极限不存在。

*示例*：$f（x） = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 2 - x, & x \geq 1 \end{cases}$，$\lim_{x \to 1^-} f（x） = 2$，$\lim_{x \to 1^+} f（x） = 1$，极限不存在。

特殊函数处理

- $e^x$、$（1+x）^a$等可利用等价无穷小或泰勒展开；

- $\ln（1+x）$在$x \to 0$时可用$\ln（1+x） \sim x$替换。

极限不存在的情况

若左极限或右极限中有一个不存在，则函数在该点极限不存在。

四、示例题

计算$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$：

直接代入：$\frac{e^0 - 1}{0}$，分母为零，需用洛必达法则；

洛必达法则：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$。

总结

计算左右极限需结合函数类型选择方法，注意分段函数和特殊点的处理。通过化简、等价无穷小、洛必达法则等技巧，可有效解决大多数极限问题。