考研数学中求极限的方法多种多样，以下是综合整理的核心方法及注意事项：

一、基础方法

利用定义求极限

通过$\epsilon-\delta$语言严格定义极限，适用于复杂函数或数列极限的证明。

四则运算法则与幂指数运算法则

- 四则运算法则适用于函数极限的直接计算；

- 幂指数运算法则（如$（1+1/n）^n$的极限）可通过特殊形式化简计算。

二、常用计算技巧

等价无穷小替换

在乘除运算中可用$e^x-1\sim x$、$（1+x）^a-1\sim ax$等替换，需注意替换条件。

洛必达法则

- 适用条件：$0/0$或$\infty/\infty$型未定式，且函数导数存在；

- 注意：需多次求导后仍为未定式时停止使用。

夹逼准则（迫敛准则）

通过上下界函数夹逼，适用于函数值被两个收敛函数限制的情况。

三、特殊函数与定理

单调有界准则

单调递增有上界或单调递减有下界的数列必有极限。

函数连续性求极限

若函数在某点连续，则极限值等于该点函数值，适用于连续函数在有限点的极限计算。

四、其他方法

泰勒公式

将函数展开为幂级数，通过取极限确定系数，适用于高阶无穷小分析。

变量替换

通过代换简化函数形式，如$x\to0$时$\sin x\sim x$，或$x\to\infty$时$t=1/x$等。

注意事项

数列极限与函数极限的区别：

数列极限需注意$n\to\infty$而非$x\to\infty$，且需先转化为函数极限形式；

洛必达法则的禁忌：非$0/0$或$\infty/\infty$型、分母为0时不可使用；

等价无穷小的条件：替换后新函数的极限必须存在。

建议结合具体题型选择方法，多做练习题巩固技巧。例如：

计算$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}$时，可先用洛必达法则，再结合泰勒公式；

证明数列极限存在时，可尝试夹逼准则或单调有界准则。