在考研数学中，换积分次序是一个重要的技巧，主要涉及直角坐标与极坐标之间的互换，以及这两种坐标系内部的积分次序调换。以下是一些基本步骤和注意事项：

检查积分上下限

首先确定原积分中积分上下限的关系，如果上限小于下限，则需要交换它们的位置。

绘制积分区域

根据原积分所描述的积分区域，在坐标系中画出这个区域。这有助于直观地理解积分的范围和形状，从而更准确地确定新的积分次序。

直角坐标与极坐标互换

直角坐标转极坐标：若积分区域在极坐标下更易于处理，可以通过以下公式进行转换：

$$

\begin{align*}

x &= r \cos \theta, \\

y &= r \sin \theta, \\

dx &= dr \cos \theta + r \sin \theta \, d\theta, \\

dy &= dr \sin \theta + r \cos \theta \, d\theta.

\end{align*}

$$

极坐标转直角坐标：反之，若在直角坐标下更易于处理，则可以通过以下公式进行转换：

$$

\begin{align*}

x &= r \cos \theta, \\

y &= r \sin \theta, \\

dx &= dr \cos \theta, \\

dy &= dr \sin \theta.

\end{align*}

$$

选择合适的积分顺序

根据积分区域D的形状和先对哪个变量积分更简便，选择合适的积分顺序。常见的积分顺序是先对x积分再对y积分，或先对y积分再对x积分。

进行坐标变换

如果积分区域D在坐标系中不是矩形或容易直接积分的形状，可能需要通过坐标变换将其转换为更易于积分的形式。常见的坐标变换包括极坐标变换、柱坐标变换和球坐标变换等。

应用积分公式

根据选择的积分顺序和坐标变换，应用相应的积分公式进行计算。例如，在极坐标系中，面积元素为$r \, dr \, d\theta$，而在柱坐标系中，面积元素为$r \, dr \, dz$。

计算积分

按照积分公式逐步计算，注意处理积分的边界条件和可能的奇点。

示例

考虑以下积分：

$$

\iint_D xy \, d\sigma

$$

其中，区域D由$x^2 + y^2 = 1$和$y = x + 2$确定。

确定积分区域

$x^2 + y^2 = 1$是一个单位圆，$y = x + 2$是一条直线。

选择积分顺序

先对x积分，再对y积分。

进行坐标变换

使用极坐标变换：

$$

\begin{align*}

x &= r \cos \theta, \\

y &= r \sin \theta, \\

dsigma &= r \, dr \, d\theta.

\end{align*}

$$

应用积分公式

转换后的积分为：

$$

\iint_D xy \, d\sigma = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r \cos \theta)(r \sin \theta) r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos \theta \sin \theta \, dr \, d\theta.

$$

计算积分

先对r积分：

$$

\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}.

$$

再对$\theta$积分：

$$

\int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0.

$$

因此，原积分的值为：

$$

\frac{1}{4} \times 0 = 0.

$$

通过以上步骤，我们可以看到换积分次序的关键在于确定积分区域、选择