考研中反函数的表达方式及相关要点如下：

一、基本表达形式

符号表示

反函数通常用符号 $f^{-1}（x）$ 表示，其中 $f$ 是原函数。若原函数为 $y = f（x）$，则其反函数可表示为 $x = f^{-1}（y）$ 或 $y = f^{-1}（x）$。

函数关系

若原函数满足 $y = f（x）$，则反函数满足 $x = f^{-1}（y）$，即反函数将原函数的输出作为输入，恢复为原始输入值。

二、求解步骤

互换变量

将原函数中的 $x$ 和 $y$ 互换位置，得到 $x = f（y）$。

解出 $y$

通过代数运算解出 $y$ 关于 $x$ 的表达式，例如：

对于 $y = \sqrt{1 - x}$，互换后得 $x = \sqrt{1 - y}$，解出 $y = 1 - x^2$（定义域为 $x \geq 0$）。

对于 $y = ax + b$，解出 $y = \frac{x - b}{a}$（定义域为全体实数）。

确定定义域

原函数的值域即为反函数的定义域，原函数的定义域即为反函数的值域。例如 $y = \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $[0, +\infty）$，则反函数的定义域为 $[0, +\infty）$。

三、注意事项

单调性要求

原函数需在定义域上严格单调（递增或递减），否则不存在反函数。

特殊函数的反函数

指数函数 $y = a^x$ 的反函数为对数函数 $y = \log_a（x）$。

三角函数 $y = \sin（x）$ 的反函数为 $y = \arcsin（x）$，且定义域为 $[-1, 1]$。

图像对称性

原函数与反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。

四、典型例题

例1：

求 $y = \ln（x - 1）$ 的反函数

1. 互换变量：$x = \ln（y - 1）$

2. 解出 $y$：$y - 1 = e^x \Rightarrow y = e^x + 1$

3. 定义域：原函数值域为 $（-\infty, +\infty）$，故反函数定义域为全体实数。

例2：求 $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ 的反函数

1. 互换变量：$x = \frac{2y + 1}{y - 3}$

2. 解出 $y$：$x（y - 3） = 2y + 1 \Rightarrow y = \frac{3x + 1}{x - 2}$

3. 定义域：原函数值域为 $y \neq 2$，故反函数定义域为 $x \neq 2$。

通过以上方法，可系统求解反函数并验证其正确性。建议结合具体题型练习，注意函数定义域和值域的转换。