一、基本计算方法

牛顿-莱布尼茨公式

若$F'（x）=f（x）$，则$\int_{a}^{b}f（x）dx=F（b）-F（a）$。需先求出被积函数的原函数$F（x）$。

换元法

第一类换元法（凑微分）：

通过变量代换简化积分，例如$\int x\sqrt{1-x^2}dx$可令$u=1-x^2$。

第二类换元法：处理含根号或复杂函数的积分，如$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$可令$x=\tan\theta$。

二、特殊技巧与性质

分部积分法

适用于两个函数乘积的积分，公式为$\int u dv=uv-\int v du$，常用于$\int x\ln xdx$等类型。

定积分性质

线性性质：

$\int [f（x）+g（x）]dx=\int f（x）dx+\int g（x）dx$

对称性：若$f（x）$为偶函数，$\int_{-a}^{a}f（x）dx=2\int_{0}^{a}f（x）dx$；若为奇函数，$\int_{-a}^{a}f（x）dx=0$。

几何意义

定积分可表示面积、体积等几何量，例如$\int_{0}^{a}f（x）dx$表示曲线$y=f（x）$与$x$轴在$[0,a]$围成的面积。

三、典型题型解析

对称区间积分

例：计算$\int_{-1}^{1}x^3dx$

解：$f（x）=x^3$为奇函数，故$\int_{-1}^{1}x^3dx=0$。

复杂函数积分

例：计算$\int_{0}^{\pi/2}\sin x\cos xdx$

解：令$u=\sin x$，则$du=\cos xdx$，积分变为$\int_{0}^{1}udu=\frac{1}{2}$。

含参变量积分

例：计算$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}e^{t^2}dt$

解：直接应用变限积分求导法则，结果为$e^{x^2}$。

四、注意事项

可积条件：

函数需连续、有界，优先考虑奇偶性简化计算。

数值方法：当解析方法困难时，可用梯形法、辛普森法等数值近似。

练习与总结：多做真题，总结常用公式和技巧，如分部积分的“反对幂三指”法则。

通过以上方法与技巧的结合运用，可系统提升定积分的解题能力。建议以教材和真题为辅，逐步掌握复杂积分的转化与计算逻辑。