求空间曲线在某点的法平面方程，通常需要以下步骤：

一、确定曲线方程形式

参数方程：

若曲线由参数方程 $\mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t）, z（t））$ 给出，直接对参数求导得到切向量 $\mathbf{T} = （x'（t）, y'（t）, z'（t））$。

一般方程：

若曲线由隐函数 $F（x, y, z） = 0$ 给出，法向量 $\mathbf{n}$ 可通过偏导数求得：$\mathbf{n} = \left（ \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right）$。

二、计算切向量或法向量

参数方程：

对 $\mathbf{r}（t）$ 求导，得到 $\mathbf{T}$，再将其单位化得到方向向量。

一般方程：

计算 $F$ 对 $x, y, z$ 的偏导数，得到法向量 $\mathbf{n}$。

三、写出切线方程

切线方程为：

$$

\frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)}

$$

其中 $（x_0, y_0, z_0）$ 是曲线上的点，$（x'（t_0）, y'（t_0）, z'（t_0））$ 是该点的切向量。

四、写出法平面方程

法平面方程为：

$$

\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0

$$

其中 $（x_0, y_0, z_0）$ 是曲线上的点，$\left（ \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right）$ 是该点的法向量。

示例

一般方程：$x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$（单位球面）

计算偏导数：$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x, \frac{\partial F}{\partial y} = 2y, \frac{\partial F}{\partial z} = 2z$

在点 $（1, 0, 0）$ 处，法向量为 $\mathbf{n} = （2, 0, 0）$

法平面方程为：$2（x - 1） = 0 \Rightarrow x = 1$

参数方程：$\mathbf{r}（t） = （\cos t, \sin t, t）$

求导得切向量 $\mathbf{T} = （-\sin t, \cos t, 1）$

在 $t = 0$ 处，切向量为 $（0, 1, 1）$

切线方程为：$\frac{x - 1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} \Rightarrow y = z - 1$

法平面方程为：$0 \cdot （x - 1） + 1 \cdot （y - 0） + 1 \cdot （z - 0） = 0 \Rightarrow y + z = 0$

注意事项

参数方程需注意参数取值范围，避免出现分母为零的情况。

法向量可能不唯一，通常取单位向量或满足特定条件的解。

通过以上步骤，结合具体曲线方程形式，即可求出法平面方程。